Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, hallo, hallo, können Sie mich hören? Ja, guten Tag. Wir haben in der letzten Vorlesung ja über

Fourier-Reihen gesprochen. Ich wiederhole noch mal die Definition der Fourier-Koeffizienten.

Die Fourier-Koeffizienten kann man berechnen, wenn man eine integrierbare Funktion hat. Und wir gehen

hier immer davon aus, dass die 2π-periodisch ist. Die Periodenlänge kann man dann anpassen. Dazu

sehen wir später auch noch die Formeln. Das ist ja nur eine Transformation, eine Skalierung. Deshalb

arbeiten wir mit 2π-periodischen Funktionen. Diese Fourier-Koeffizienten sind über Integrale

definiert. Man multipliziert die Funktion f, die man hat, mit trigonometrischen Funktionen und

integriert dann das Produkt. Und damit das funktioniert, setzen wir voraus, f ist 2π-periodisch

und integrierbar. Und dann gibt es ja Sinus und Kosinus. Und deshalb haben wir auch zwei

Arten von Fourier-Koeffizienten, die a ns und die b ns. Die a ns gehören zu dem Kosinus. Die sind

1 durch π mal Integral von 0 bis 2π f von x mal Kosinus von n mal x dx. Und das n kann hier eine

natürliche Zahl sein oder auch die 0 der Kosinus. Von 0 ist ja 1. Also da hat man dann einfach das

Integral von f für n gleich 0. N Element 0, 1, 2. Dann gibt es die b ns, die gehören zu dem Sinus.

Das ist 1 durch π mal das Integral von 0 bis 2π f von x mal Sinus von n mal x dx. Und hier läuft

das n von 1 an durch die natürlichen Zahlen. Wenn man hier für n 0 einsetzt, dann kommt ja nur 0

heraus. Also das ist nicht interessant. Also das sind die Fourier-Koeffizienten. Das ist eine

Zahlenfolge, die man so einer 2π-periodischen integrierbaren Funktion zuordnen kann. Und diese

Zahlen kann man jetzt als Koeffizienten verwenden in einer formalen Fourier-Reihe. Und die sieht

folgendermaßen aus. Die Fourier-Reihe zu dieser Funktion an der Stelle x ist gleich a 0 halbe plus

die Summe von n gleich 1 bis unendlich a n mal Cosinus von n mal x plus b n mal Sinus an der Stelle

n mal x. Also sie nehmen diese a ns und b ns als Koeffizienten und multiplizieren diese Koeffizienten

mit den entsprechenden trigonometrischen Funktionen. Also die a ns mit Cosinus n x und die b ns mit

Sinus n x. Das einzig besondere hier ist dieses ein halb vor dem a 0. Das macht man damit dieser

konstante Koeffizient a 0 halbe auch mit der gleichen Formel definiert werden kann. a 0 halbe

ist ja der Integralmittelwert der Funktion f. Wir hatten jetzt mit dem ersten Beispiel schon

begonnen, wo wir für eine gegebene Funktion diese Fourier-Koeffizienten einmal ausgerechnet

haben. Dazu muss man diese Integrale berechnen. Ich wiederhole noch mal das Beispiel. Das war

unser Beispiel 1. Wir hatten f 2 Pi periodisch und die Funktion f war nur auf dem Intervall von 0 bis

2 Pi gegeben. Das reicht ja. Die wird dann periodisch fortgesetzt. Die ist x für 0 kleiner

gleich x kleiner gleich Pi und 2 Pi minus x für Pi kleiner als x kleiner als 2 Pi. Das liefert dann

so eine Hütchenreihe, also so ein Sägeblatt. Die Null können wir uns hier zum Beispiel vorstellen.

Und dann sehen wir, dass diese Funktion gerade ist. Rechts von der Null passiert das Gleiche wie links

von der Null. Und dann wissen wir, diese Koeffizienten beim Sinus, die sind dann alle gleich null. Das ist

eine wichtige Symmetrie Eigenschaft. Also f ist gerade. Daraus folgt die b n sind gleich 0.

Für n aus n. Und die a n rechnen wir aus. Und da können wir das Integrationsintervall halbieren.

Also es reicht dann aus, wenn wir von 0 bis Pi integrieren. Dann den doppelten Wert nehmen. Wir

beginnen mit a 0. Wir rechnen das a 0 separat aus. a 0 ist 2 durch Pi mal integral von 0 bis Pi f

von x dx. Also hier haben wir die Intervallänge halbiert und das durch den Faktor 2 ausgeglichen.

Weil bei den geraden Funktionen ja hier rechts und links immer dasselbe passiert. Also von minus Pi

bis Null und von Null bis Pi kriegen wir am Ende dann dasselbe Integral heraus. Und da können wir

jetzt die Definition von einem f von x einsetzen. Wir schauen, was macht das f von x für x zwischen

Null und Pi. Und da ist f von x einfach gleich x. Und das setzen wir jetzt ein in das Integral.

Das ist also 2 durch Pi mal integral von 0 bis Pi von x dx. Das ist 2 durch Pi mal x integriert

gibt ja x quadrat halbe. Da setzen wir das Pi ein. Dann haben wir Pi quadrat halbe. Die Null liefert

hier nichts. Und da kann man schon kürzen. Die 2 kürzen sich weg. Also es kommt nur Pi heraus am Ende.

Und jetzt kommen wir zu den übrigen a ns für natürliche Zahlen. N aus N.

a n ist gleich 2 durch Pi integral von 0 bis Pi f von x mal Cosinus n mal x dx. Und hier können

wir auch wieder die Definition von f einsetzen. f von x ist ja auf diesem Intervall gleich x.

Also das ist 3 durch Pi integral von 0 bis Pi von x mal Cosinus n mal x dx. Und hier haben wir ein